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------------------------------------------------ El perímetro de un triángulo es de 32 pulgadas. La longitud del lado más corto es [tex]\frac{1}{3}[/tex] de la longitud del lado más largo y 7 pulgadas menos que la longitud del lado restante.

¿Cuál es la longitud del lado más corto?

Para resolver este problema, sigamos estos pasos:

1. Identificar las variables:
- Llamemos [tex]\( x \)[/tex] a la longitud del lado más corto.
- Llamemos [tex]\( y \)[/tex] a la longitud del lado más largo.
- Llamemos [tex]\( z \)[/tex] a la longitud del lado restante.

2. Usar la información del problema:
- El perímetro del triángulo es 32 pulgadas, lo que significa que:
[tex]\[
x + y + z = 32
\][/tex]
- Nos dicen que el lado más corto [tex]\( x \)[/tex] es [tex]\(\frac{1}{3}\)[/tex] de la longitud del lado más largo [tex]\( y \)[/tex]. Esto se traduce a:
[tex]\[
x = \frac{1}{3}y
\][/tex]
- También nos dicen que el lado más corto [tex]\( x \)[/tex] es 7 pulgadas menos que el lado restante [tex]\( z \)[/tex]:
[tex]\[
x = z - 7
\][/tex]
Reescribiéndolo, tenemos:
[tex]\[
z = x + 7
\][/tex]

3. Sustituir las ecuaciones en la ecuación del perímetro:
Podemos sustituir [tex]\( z = x + 7 \)[/tex] y [tex]\( y = 3x \)[/tex] (ya que [tex]\( y = 3x \)[/tex] al despejar de [tex]\( x = \frac{1}{3}y \)[/tex]):
[tex]\[
x + 3x + (x + 7) = 32
\][/tex]
Simplificando la ecuación, obtenemos:
[tex]\[
5x + 7 = 32
\][/tex]

4. Resolver la ecuación para encontrar [tex]\( x \)[/tex]:
Restamos 7 de ambos lados:
[tex]\[
5x = 25
\][/tex]
Dividimos ambos lados por 5:
[tex]\[
x = 5
\][/tex]

Por lo tanto, la longitud del lado más corto es de 5 pulgadas.